Question

設(shè)函數(shù)y₁=ax2-2x+1，函數(shù)y₂=ax2-3x+5其中a＞0，且a≠1，
（1）當(dāng) y₁=y₂時(shí)，求x的取值．
（2）當(dāng)a=2且y₁＞y₂時(shí)，求x的取值范圍
（3）當(dāng)a=

1

2

且x∈[2，+∞）時(shí)，令函數(shù)f(x)=

y1

y2

，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由于y₁=y₂，即ax2-3x+5=ax2-3x+5，可得x²-2x+1=x²-3x+5，由此求得x的值．
（2）由條件可得 2x2-2x+1＞2x2-3x+5，故有x²-2x+1＞x²-3x+5，由此求得x的范圍．
（3）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，化簡(jiǎn)f(x)=

y1

y2

 為(

1

2

) x-4，根據(jù)x≥2，可得x-4≥-2，從而求得f（x）的范圍．

解答：解：（1）∵y₁=y₂，即ax2-3x+5=ax2-3x+5，∴x²-2x+1=x²-3x+5，∴x=4                              （4分）
（2）∵y₁＞y₂ 且a=2，∴2x2-2x+1＞2x2-3x+5，
∴x²-2x+1＞x²-3x+5，解得x＞4．（8分）
（3）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f(x)=

y1

y2

=

( 1 2 )x2-2x+1

( 1 2 )x2-3x+5

=(

1

2

) x-4，（10分）
∵x≥2，∴x-4≥-2，∴f(x)=(

1

2

) x-4≤4，（12分）

結(jié)合函數(shù)圖象可得f(x)=(

1

2

) x-4的值域是（0，4]．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)不等式的解法，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．