Question

（2013•昌平區(qū)一模）已知函數f（x）=-x³+ax²-4（a∈R）．
（Ⅰ）若函數y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線的傾斜角為

π

4

，求f（x）在[-1，1]上的最小值；
（Ⅱ）若存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求出函數f（x）的導函數，然后根據函數f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率等于1，建立關于a的方程，解出a，再求出f′（x）=0，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，得到函數的單調性，進而來確定極值點，通過比較極值與端點的大小從而確定出最值．
（II）存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0，即f（x）在（0，+∞）上的最大值大于0，故先求導，然后分a＞0和a≤0兩種情況分別討論f（x）在（0，+∞）上的最大值情況即可．

解答：解：（I）∵f'（x）=-3x²+2ax（1分），
由已知f′（x）=tan

π

4

=1，即-3+2a=1（2分），
∴a=2（3分）； …（3分）
此時，知f（x）=-x³+2x²-4（4分），
f′（x）=-3x²+4x=-3x（x-

4

3

）（5分），
x∈[-1，1]時，如下表：
…．（6分）
∴x∈[-1，1]時，f（x）最小值為f（0）=-4，…（7分）
（II）∵f′（x）=-3x（x-

2a

3

），
（1）若a≤0，
當x＞0時，f′（x）＜0，從而f（x）在（0，+∞）上是減函數，
又f（0）=-4，則當x＞0時，f（x）＜-4．
∴當a≤0時，不存在x₀＞0使f（x₀）＞0（11分）；
（2）若a＞0時，
當0＜x＜

2a

3

時，f′（x）＞0．當x＞

2a

3

時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，

2a

3

]上單增，在[

2a

3

，+∞）單減；
∴x∈（0，+∞）時，f（x）_max=f（

2a

3

）=

4a3

27

-4（12分），
由已知，必須

4a3

27

-4＞0
∴a³＞27，a＞3 …（13分）
綜上，a的取值范圍是（3，+∞）．

點評：本題考查了導數的運算，導數的幾何意義，利用導數求函數的最值等知識點，涉及了分類討論的數學思想，綜合性較強，難度較大．