Question

如圖，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且，，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中點(diǎn)分別為M，N，且m+4n=1，則的最小值為________．

Answer 1

分析：由等腰△ABC中，AB=AC=1且A=120°，算出=-．連接AM、AN，利用三角形中線的性質(zhì)，得到=（）且=（+），進(jìn)而得到=-=（1-m）+（1-n）．將此式平方，代入題中數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)可得=（1-m）²-（1-m）（1-n）+（1-n）²，結(jié)合m+4n=1消去m，得=n²-n+，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)n=時(shí)，的最小值為，所以的最小值為．
解答：解：連接AM、AN，
∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120°，
∴=||•||cos120°=-
∵AM是△AEF的中線，
∴=（）=（+）
同理，可得=（+），
由此可得=-=（1-m）+（1-n）
∴=[（1-m）+（1-n）]²=（1-m）²+（1-m）（1-n）•+（1-n）²
=（1-m）²-（1-m）（1-n）+（1-n）²，
∵m+4n=1，可得1-m=4n
∴代入上式得=×（4n）²-×4n（1-n）+（1-n）²=n²-n+
∵m，n∈（0，1），
∴當(dāng)n=時(shí)，的最小值為，此時(shí)的最小值為．
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題給出含有120度等腰三角形中的向量，求向量模的最小值，著重考查了平面向量數(shù)量積公式及其運(yùn)算性質(zhì)和二次函數(shù)的最值求法等知識(shí)，屬于中檔題．