Question

已知數(shù)列{a_n}滿足，a₁=2
（I）求證：數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n（n+1）
（II）求數(shù)列的前n項和T_n；
（III）是否存在無限集合M，使得當(dāng)n∈M時，總有成立．若存在，請找出一個這樣的集合；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由3S_n=（n+2）a_n，得3S_n-1=（n+1）a_n-1（n≥2），二式相減得，然后利用疊乘法可求出數(shù)列{a_n}的通項公式，從而證得結(jié)論；
（II）將裂項得，然后進行求和即可；
（III）令，可求出滿足條件的n，從而得到集合M．
解答：證明：（I）由3S_n=（n+2）a_n
得3S_n-1=（n+1）a_n-1（n≥2）
二式相減得3a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1
∴（n-1）a_n=（n+1）a_n-1
∴
∴
疊乘得：a_n=n（n+1）（n∈N^*）（7分）
（II）∵
∴（10分）
（III）令
得：n+1＞10，n＞9
故滿足條件的M存在，M={n∈N|n＞9，n∈N^*}是一個這樣的集合（12分）
點評：本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合，以及裂項求和法的應(yīng)用，同時考查了計算能力，屬于中檔題．