Question

某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓(xùn)（稱為A類工人），另外750名工人參加過長期培訓(xùn)（稱為B類工人）．現(xiàn)用分層抽樣方法（按A類、B類分二層）從該工廠的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（此處生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）．
（1）求甲、乙兩工人都被抽到的概率，其中甲為A類工人，乙為B類工人；
（2）從A類工人中的抽查結(jié)果和從B類工人中的抽查結(jié)果分別如下表1和表2．
表1：

表2：

①先確定x、y，再完成頻率分布直方圖，就生產(chǎn)能力而言，A類工人中個(gè)體間的差異程度與B類工人中個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更小？（不用計(jì)算，可通過觀察直方圖直接回答結(jié)論）


②分別估計(jì)A類工人和B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計(jì)該工廠工人的生產(chǎn)能力的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)隨機(jī)抽樣中各個(gè)個(gè)體被抽到的可能性均相等，可以得出甲、乙兩工人分別被抽到的概率，再根據(jù)獨(dú)立事件概率的計(jì)算公式求得結(jié)果；
（2）①利用分層抽樣的思想確定出A類工人和B類工人分別被抽查到的人數(shù)，然后根據(jù)統(tǒng)計(jì)表格利用方程確定出x，y的值，完成頻率分布直方圖，通過頻率分布直方圖判斷出A類工人中個(gè)體間的差異程度與B類工人中個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更小；
②利用頻率分布直方圖各組小長方形上端的中點(diǎn)橫坐標(biāo)作為該組的生產(chǎn)能力估計(jì)值，各組的頻率值作為近似的概率值利用均值的計(jì)算公式估算出他們的生產(chǎn)能力平均數(shù)．

解答：解：（1）甲、乙被抽到的概率均為

1

10

，且事件“甲工人被抽到”與事件“乙工人被抽到”相互獨(dú)立，故甲、乙兩工人都被抽到的概率為P=

1

10

×

1

10

=

1

100

．
（2）①由題意知A類工人中應(yīng)抽查25名，B類工人中應(yīng)抽查75名．
故4+8+x+5+3=25，得x=5，
6+y+36+18=75，得y=15．
頻率分布直方圖如下：

從直方圖可以判斷：B類工人中個(gè)體間的差異程度更小．
②

.

x

_A=

4

25

×105+

8

25

×115+

5

25

×125+

5

25

×135+

3

25

×145=123，

.

x

_B=

6

75

×115+

15

75

×125+

36

75

×135+

18

75

×145=133.8，

.

x

=

25

100

×123+

75

100

×133.8=131.1．
A類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)、B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)以及全廠工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)的估計(jì)值分別為123，133.8和131.1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)，考查用樣本估計(jì)總體的思想，考查隨機(jī)抽樣的基本思想和方法，分層抽樣的思想、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的計(jì)算方法，考查頻率分布直方圖的繪畫、學(xué)生的畫圖、識(shí)圖能力，數(shù)據(jù)中均值的計(jì)算方法．