Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c．其中a²＞b²+c²，且a=30，△ABC的面積S=105，外接圓面積是289π．
（1）求sinA，cosA的值；
（2）求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）利用外接圓面積是289π．求出外接圓半徑，通過正弦定理求出sinA，cosA的值；
（2）通過三角形的面積求出bc的值，利用余弦定理再得到b，c的關(guān)系，求出b+c的值，即可求△ABC的周長．

解答：解：（1）在△ABC中，由已知條件可知：
A為鈍角，a=30，外接圓面積是289π．所以外接圓半徑R=17，
所以

a

sinA

=2R=34，sinA=

15

17

，cosA=-

8

17

；
（2）△ABC的面積S=105，105=

1

2

bcsinA，bc=238
a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc（1+cosA）
（b+c）²=a²+2bc（1+cosA）=900+2×238×（1-

8

17

）=1152
b+c=24

2

，△ABC的周長為：30+24

2

．

點評：本題是基礎(chǔ)題，考查三角形的外接圓、正弦定理、余弦定理、三角形的面積、周長等知識的應(yīng)用，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想．