Question

已知曲線C₁：y=x²-2x+2和曲線C₂：y=x³-3x²+x+5有一個(gè)公共點(diǎn)P（2，2），若兩曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角分別是α和β，求tan和sin的值．

Answer 1

分析：利用曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線的切線斜率，根據(jù)傾斜角的正切值為斜率求出tanα，tanβ，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式求出α+β

解答：解：∵y=x²-2x+2，∴y′=2x-2，∴tanα=2×2-2=2，
又∵y=x³-3x²+

1

2

x+5，∴y′=3x²-6x+

1

2

，∴tanβ=3×2²-6×2+

1

2

=

1

2

，
∴tanαtanβ=1，即tanβ=cotα，由0＜α、β＜

π

2

得β=

π

2

-α，
∴α+β=＜

π

2

，tan

α+β

2

=1且sin

α+β

3

=sin

π

3

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線傾斜角的正切值為斜率、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式．