Question

如圖，兩射線AM，AN互相垂直，在射線AN上取一點B使AB的長為定值2a，在射線AN的左側(cè)以AB為斜邊作一等腰直角三角形ABC．在射線AM，AN上各有一個動點D，E滿足△ADE與△ABC的面積之比為3：2，則

CD

•

ED

的取值范圍為

[5a²，+∞）

．

Answer 1

分析：以AM所在的直線為x軸，以AN所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，設(shè)除點D（m，0）、E（0，n），化簡

CD

•

ED

=m²+ma+na．再由△ADE與△ABC的面積之比為3：2，求得n與m的關(guān)系．令f（m）=

CD

•

ED

，利用導數(shù)求得函數(shù)f（m）取得最小值為 f（m），即可得到

CD

•

ED

的取值范圍．

解答：解：以AM所在的直線為x軸，以AN所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．
由題意可得點C（-a，a），a＞0，A（0，0）、B（0，2a）．
設(shè)點D（m，0）、E（0，n），則有

CD

=（m+a，-a）、

ED

=（m，-n），∴

CD

•

ED

=m²+ma+na．
再由△ADE與△ABC的面積之比為3：2 可得

1 2 •mn

1 2 •2a•a

=

3

2

，∴mn=3a²，∴n=

3a2

m

．
令f（m）=

CD

•

ED

，則 f（m）=m²+ma+na=m²+ma+

3a3

m

，
故有 f′（m）=2m+a+

-3a3

m2

=

2m3+am2-3a3

m2

．
由于a＞0、m＞0，令 f′（m）＞0，解得 m＞a． 令f′（m）＜0 解得 0＜m＜a．
故函數(shù)f（m）在（0，a）上是減函數(shù)，在（a，+∞）上是增函數(shù)，
故當m=a時，函數(shù)f（m）取得最小值為 f（m）=5a²，故函數(shù)f（m）的值域為[5a²，+∞），
故答案為[5a²，+∞）．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式的應用，兩個向量坐標形式的運算，利用導數(shù)求函數(shù)的極值，屬于中檔題．