Question

（2012•楊浦區(qū)二模）如圖所示，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，的棱AA₁長為a，底面ABCD是邊長AB=2a，BC=a的矩形，E為C₁D₁的中點．
（1）求證：DE⊥平面EBC．
（2）求點C到平面EBD的距離．

Answer 1

分析：（1）要證明DE⊥平面EBC，只要證明由EC⊥ED，BC⊥DE，即可證明
（2）法一：由V_C-EBD=V_E-BCD可求C到平面BDE的距離
法二：建立直角坐標(biāo)系，先求平面EBD的一個法向量

n

，然后求出

BC

，可求C到平面BDE的距離為d=

|n • BC |

| n |

解答：（1）證明：由題意可得，EC=ED=

2

a
∵CD=2a
∴EC⊥ED，…（2分）
∵BC⊥平面CC₁D₁D
∴BC⊥DE，…（4分）
即DE垂直于平面EBC中兩條相交直線，
因此DE⊥平面EBC，…（7分）
（2）解1：結(jié)合第（1）問得DB=

5

a，DE=

2

a，…（8分）
BE=

3

a，DE⊥BE，
所以，S_△EBD=

1

2

×

2

a×

3

a=

6

2

a2 …（10分）
又由V_C-EBD=V_E-BCD得 

1

3

h×

6

2

a2=

1

3

a3   …（12分）
故C到平面BDE的距離為h=

6

3

a …（14分）
解2：如圖建立直角坐標(biāo)系，
則E（0，a，a），

OE

=(0，a，a)，B（a，2a，0），

OB

=(a，2a，0)，…（9分）
因此平面EBD的一個法向量可取為

n

=(-2，1，1)，
由C（0，2，0），得

BC

=(-1，0，0)，…（11分）
因此C到平面BDE的距離為d=

|n • BC |

| n |

=

6

3

a
（其他解法，可根據(jù)【解1】的評分標(biāo)準(zhǔn)給分）

點評：本題主要考查了線面垂直的判定定理的應(yīng)用，等體積求解點到面的距離及向量法在距離求解中的應(yīng)用．