Question

在△ABC中，tanA=

1

4

，tanB=

3

5

．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若△ABC最大邊的邊長為

17

，求最小邊的邊長．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 根據(jù)tanC=-tan（A+B），利用兩角和的正切公式求出結(jié)果．
（Ⅱ）根據(jù)C=

3

4

π，可得AB邊最大為

17

，又tanA＜tanB，A，B∈(0，

π

2

)，所以∠A最小，BC邊為最小邊，
求出sinA的值，由正弦定理求得BC的值．

解答：解：（Ⅰ）∵C=π-（A+B），∴tanC=-tan(A+B)=-

1 4 + 3 5

1- 1 4 × 3 5

=-1．--------------2'
又∵0＜C＜π，∴C=

3

4

π．------------------4'
（Ⅱ）∵C=

3

4

π，∴AB邊最大，即AB=

17

．--------------------------6'
又tanA＜tanB，A，B∈(0，

π

2

)，
所以∠A最小，BC邊為最小邊．-------------------------8'
由

tanA= sinA cosA = 1 4 sin2A+cos2A=1

且A∈(0，

π

2

)，
得sinA=

17

17

．--------------------------------10'
由

AB

sinC

=

BC

sinA

得：BC=

ABsinA

sinC

=

2

．
所以，最小邊BC=

2

．----------------------------12'

點評：本題考查兩角和的正切公式，正弦定理以及根據(jù)三角函數(shù)的值求角，判斷∠A最小，BC邊為最小邊，是解題的關(guān)鍵．