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        1. (2011•延慶縣一模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,且∠DAB=60°,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且三角形PAD為等腰直角三角形,∠APD=90°,M是AP的中點(diǎn).
          (Ⅰ)求證AD⊥PB;
          (Ⅱ)求異面直線DM與PB所成角的余弦值;
          (Ⅲ)求二面角A-PD-B的余弦值.
          分析:(Ⅰ) 連接BD,設(shè)Q是AD的中點(diǎn),連接PQ,BQ,通過證明AD⊥平面PBQ,證出AD⊥PB;
          (Ⅱ)平面PDA⊥平面ABCD∴PQ⊥平面ABCD以Q為坐標(biāo)原點(diǎn),QA,QB,QP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的方法求解.
          (Ⅲ) 利用平面APD的法向量與平面PBD的法向量的夾角求二面角A-PD-B的余弦值.
          解答:解:(Ⅰ) 連接BD,
          ∵ABCD是菱形,且∠BAD=60°
          ∴△ABD是等邊三角形   …(1分)
          設(shè)Q是AD的中點(diǎn),連接PQ,BQ,則BQ⊥AD,
          ∵△APD是等腰直角三角形
          ∴PQ⊥AD…(2分)
          ∵PQ∩BQ=Q…(3分)
          ∴AD⊥平面PBQ,
          ∴AD⊥PB…(4分)
          (Ⅱ)∵平面PDA⊥平面ABCD
          ∴PQ⊥平面ABCD
          以Q為坐標(biāo)原點(diǎn),QA,QB,QP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系          …(5分)
          則D(-1,0,0),M(
          1
          2
          ,0,
          1
          2
          ),P(0,0,1),B(0,
          3
          ,0)
          DM
          =(
          3
          2
          ,0,
          1
          2
          )
          ,&
          PB
          =(0,
          3
          ,-1)
          …(7分)
          cos<
          DM
          ,
          PB
          >=
          DM
          PB
          |
          DM
          |
          |PB|
          =
          10
          20

          異面直線DM與PB所成角的余弦值為
          10
          20
          …(9分)
          (Ⅲ)∵BQ⊥平面APD
          ∴平面APD的法向量為
          m
          =(0,0,1)
          …(10分)
          設(shè)平面PBD的法向量為
          n
          =(x,y,z)

          DB
          =(1,
          3
          ,0)
          ,
          DP
          =(1,0,1)

          n
          ×
          DB
          =0
          ,
          n
          ×
          DP
          =0

          x+
          3y
          =0,x+z=0

          令x=1,可得:
          n
          =(1,-
          3
          3
          ,-1)
          …(12分)
          cos<
          m
          ,
          n
          >=
          m
          n
          |
          m
          ||
          n
          |
          =-
          7
          7

          由圖形可知,二面角A-PD-B為銳角,
          ∴二面角A-PD-B的余弦值為
          7
          7
          …(14分)
          點(diǎn)評:本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷,二面角大小求解,考查空間想象能力、推理論證、計算、轉(zhuǎn)化能力.利用向量這一工具,解決空間幾何體問題,能夠降低思維難度.但要注意有關(guān)點(diǎn)及向量坐標(biāo)的準(zhǔn)確性.
          練習(xí)冊系列答案
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          (2011•延慶縣一模)Sn是數(shù)列{an}的前n項和,an=
          2n
           (n是偶數(shù))
          2n
           (n是奇數(shù))
          ,則S5=( 。

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          (2011•延慶縣一模)已知平面區(qū)域Ω={(x,y)|x+y-6≤0,x≥0,y≥0},M={(x,y)|y≤
          1
          2
          x}
          ,若向Ω內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)Q,則Q落在M內(nèi)的概率為( 。

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