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        1. 如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,點D,D1分別為棱BC,B1C1的中點.
          (1)求證:直線A1D1∥平面ADC1
          (2)求證:平面ADC1⊥平面BCC1B1
          (3)設底面邊長為2,側棱長為4,求二面角C1-AD-C的余弦值.

          (1)證明:連接DD1,∵點D1為棱B1C1的中點,
          ,所以四邊形AA1D1D為平行四邊形
          ∴A1D1∥AD.
          又AD?平面ADC1,A1D1?平面ADC1,
          ∴A1D1∥平面ADC1
          (2)證明:在正三棱柱ABC-A1B1C1中,
          ∵CC1⊥底面ABC,又AD?底面ABC
          ∴AD⊥CC1
          ∵點D為棱BC的中點,
          ∴AD⊥BC,
          CC1?平面BCC1B1,BC?平面BCC1B1,CC1∩BC=C,
          ∴AD⊥平面BCC1B1
          又∵AD?平面ADC1,
          ∴平面ADC1⊥平面BCC1B1
          (3)解:由(1)得AD⊥平面BCC1B1,
          ∴AD⊥BC,AD⊥C1D
          ∴∠C1DC為二面角C1-AD-C的平面角
          又CD=1,CC1=4,∴
          在Rt△C1CD中,
          ∴二面角C1-AD-C的余弦值為
          分析:(1)利用線面平行的判定定理,只需證明平面外的直線平行于平面內的一條直線,證明A1D1∥AD即可;
          (2)利用面面垂直的判定定理,只需證明一個平面經過另一個平面的垂直,證明AD⊥平面BCC1B1即可;
          (3)先判斷∠C1DC為二面角C1-AD-C的平面角,再在Rt△C1CD中求解即可.
          點評:本題以正三棱柱為載體,考查線面、面面位置關系,考查面面角,解題的關鍵是正確掌握線面平行、面面垂直的判定定理.
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          A、
          3
          4
          B、
          1
          2
          C、
          3
          2
          D、1

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          14

          (Ⅰ)求BC1與側面ACC1A1所成角的大;
          (Ⅱ)求二面角C1-BM-C的正切值;
          (Ⅲ)證明MN⊥BC1

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