Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁為a，前n項(xiàng)和為S_n．

(Ⅰ) 若S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ) 證明：n∈N*, S_n，S_n＋1，S_n＋2不構(gòu)成等比數(shù)列．

Answer 1

本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式,同時(shí)考查反證法與推理論證能力。滿分14分。

(Ⅰ) 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則S_n＝na＋，

S₁＝a，S₂＝2a＋d，S₄＝4a＋6d．由于S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，因此

＝S₁S₄，即得d (2a－d)＝0．所以，d＝0或2a．

(1) 當(dāng)d＝0時(shí)，a_n＝a；

(2) 當(dāng)d＝2a時(shí)，a_n＝(2n－1)a．                  …………6分

(Ⅱ) 證明：采用反證法．不失一般性，不妨設(shè)對(duì)某個(gè)m∈N*，S_m，S_m＋1，S_m＋2構(gòu)成等比數(shù)列，即．因此

a²＋mad＋m(m＋1)d²＝0，      ①

(1) 當(dāng)d＝0時(shí)，則a＝0，此時(shí)S_m＝S_m＋1＝S_m＋2＝0，與等比數(shù)列的定義矛盾；

(2) 當(dāng)d≠0時(shí)，要使數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a存在，必有①中的Δ≥0．

然而

Δ＝(md)²－2m(m＋1)d²＝－(2m＋m²)d²＜0，矛盾．

綜上所述，對(duì)任意正整數(shù)n，S_n，S_n＋1，S_n＋2都不構(gòu)成等比數(shù)列．   …………14分