Question

如圖所示，在三棱錐A-BCD中，∠BDC為銳角，∠CBD=

π

6

，BC=2

3

，CD=AC=2，AB=AD=2

2

．
證明：（1）DC⊥BC；
（2）平面BAC⊥平面ACD；
（3）求點C到平面ABD的距離．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理解△BCD，得sinBDC=

3

2

，結合∠BDC為銳角得∠BDC=

π

3

，由三角形內角和定理算出∠BCD=

π

2

，即得DC⊥BC；
（2）利用勾股定理的逆定理，證出AC⊥CD，結合BC⊥CD，從而證出CD⊥平面BAC，利用線面垂直判定定理即可證出平面BAC⊥平面ACD；
（3）利用題中數(shù)據(jù)證出△ABC為直角三角形，從而算出S_△ABC=2

2

，由錐體體積公式算出V_D-ABC=

4 2

3

．再利用解三角形知識算出△ABD的面積，利用等體積轉換加以計算即可算出點C到平面ABD的距離．

解答：解：（1）在銳角△BCD中，∠CBD=

π

6

，BC=2

3

，CD=2，
∴由正弦定理

CD

sinCBD

=

BC

sinBDC

，得

2

sin π 6

=

2 3

sinBDC

解之得sinBDC=

3

2

，結合∠BDC為銳角可得∠BDC=

π

3

∴∠BCD=π-∠CBD-∠BDC=

π

2

，即DC⊥BC；
（2）在△ACD中，AC=CD=2，AD=2

2

，
得AC²+CD²=8=AD²，所以AC⊥CD
∵BC⊥CD，AC、BC是平面BAC內的相交直線
∴CD⊥平面BAC
∵CD?平面ACD，∴平面BAC⊥平面ACD；
（3）在△ABC中，AC=2，AB=2

2

，BC=2

3

，
∴AC²+AB²=BC²，得AB⊥AC
∴S_△ABC=

1

2

×AB×AC=2

2

由（2）知DC⊥平面ABC，故V_D-ABC=

1

3

×S_△ABC×CD=

4 2

3

Rt△BDC中，BD=

BC2+CD2

=4
在△ABD中，AB=AD=2

2

，所以AD²+AB²=BD²，故AB⊥AD
故S_△ABD=

1

2

×AB×AD=4
設點C到平面ABD的距離為h，
可得V_C-ABD=V_D-ABC，得

1

3

S_△ABD•h=

4 2

3

，
即

1

3

×4×h=

4 2

3

，解之得h=

2

，即點C到平面ABD的距離

2

．

點評：本題給出特殊三棱錐，求證線線垂直、面面垂直，并求錐體的體積，著重考查了解三角形的知識，考查了空間垂直位置關系的證明和錐體體積求法等知識，屬于中檔題．