Question

國(guó)際上鉆石的重量計(jì)量單位為克拉．已知某種鉆石的價(jià)值（美元）與其重量（克拉）的平方成正比，且一顆重為3克拉的該鉆石的價(jià)值為54000美元．
（Ⅰ）寫出鉆石的價(jià)值y關(guān)于鉆石重量x的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）把一顆鉆石切割成兩顆鉆石，若兩顆鉆石的重量分別為m克拉和n克拉，試證明：當(dāng)m=n時(shí)，價(jià)值損失的百分率最大．
（注：價(jià)值損失的百分率=

原有價(jià)值-現(xiàn)有價(jià)值

原有價(jià)值

×100%；在切割過(guò)程中的重量損耗忽略不計(jì)）

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)價(jià)值與重量的關(guān)系式為y=kx²；3克拉的鉆石價(jià)值是54000美元，代入上式，可得k的值，從而得函數(shù)關(guān)系式．
（Ⅱ）兩顆鉆石的重量為m、n克拉，原有價(jià)值是6000（m+n）²，現(xiàn)有價(jià)值是6000m²+6000n²；價(jià)值損失的百分率為：

6000(m+n)2-6000m2-6000n2

6000(m+n)2

×100%，化簡(jiǎn)整理，得其最大值，即鉆石價(jià)值損失的最大百分率．

解答：解：（Ⅰ）由題意，可設(shè)價(jià)值與重量的關(guān)系式為y=kx²；
∵3克拉的鉆石價(jià)值是54000美元，∴54000=k•3²，解得：k=6000，∴y=6000•x²；
所以，此鉆石的價(jià)值與重量的函數(shù)關(guān)系式為y=6000•x²．
（Ⅱ）若兩顆鉆石的重量為m、n克拉，則原有價(jià)值是6000（m+n）²，
現(xiàn)有價(jià)值是6000m²+6000n²；價(jià)值損失的百分率為：

6000(m+n)2-6000m2-6000n2

6000(m+n)2

×100%=

2mn

(m+n)2

×100%≤

2×( m+n 2 )2

(m+n)2

=

1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取等號(hào)；
所以，當(dāng)m=n時(shí)，鉆石價(jià)值損失的百分率最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正比例函數(shù)模型的應(yīng)用，和基本不等式變形為(

a+b

2

)2≥ab（其中a＞0，b＞0）的應(yīng)用，是中檔題．