Question

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=

n

n+a

(n，a∈N*)．
（1）若a₁，a₃，a₁₅成等比數(shù)列，求a的值；
（2）當(dāng)k（k≥3且k∈N^*）時(shí)，a₁，a₂，a_k成等差數(shù)列，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a_n的通項(xiàng)公式本別求得a₁，a₃，a₁₅，再根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)，可知a₁a₁₅=（a₃）²，進(jìn)而求得a．
（2）根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知a₁+a_k=2a₂，化簡(jiǎn)可得（k-3）a=2，再利用k，a∈N^*求得k和a．

解答：解：（1）a1=

1

1+a

，a3=

3

3+a

，a15=

15

15+a

，a₁，a₃，a₁₅成等比數(shù)列，
∴a₁a₁₅=（a₃）²，∴a=0或a=9
∵a∈N^*，∴a=9．
（2）a滿足條件，a1=

1

1+a

，a2=

2

2+a

，ak=

k

k+a

，a₁，a₂，a_k成等差數(shù)列，
∴a₁+a_k=2a₂，化簡(jiǎn)得（k-3）a=2
∵k，a∈N^*，∴a=1時(shí)，k=5或a=2時(shí)，k=4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比中項(xiàng)和等差中項(xiàng)的應(yīng)用．屬基礎(chǔ)題．