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        1. 已知函數(shù)f(x)=-x+log2
          1-x
          1+x

          (1)求f(
          1
          2012
          )+f(-
          1
          2012
          )的值;
          (2)當(dāng)x∈(-a,a],其中a∈(0,1],a是常數(shù),函數(shù)f(x)是否存在最小值?若存在,求出f(x)的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
          分析:(1)由
          1-x
          1+x
          >0求得函數(shù)f(x)的定義域,再根據(jù)f(-x)=-f(x),可得f(x)為奇函數(shù),即f(-x)+f(x)=0,從而得到f(
          1
          2012
          )+f(-
          1
          2012
          )的值.
          (2)任取-1<x1<x2<1,求得f(x2)-f(x1)<0,即 f(x2)<f(x1),可得函數(shù)f(x)在其定義域(-1,1)上是減函數(shù),從而求得函數(shù)f(x)在(-a,a]上的最小值.
          解答:解:(1)由
          1-x
          1+x
          >0可得-1<x<1,故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?1,1).
          又f(-x)=x+log2
          1-x
          1+x
          =x-log2
          1-x
          1+x
          =-f(x),
          ∴f(x)為奇函數(shù),即f(-x)+f(x)=0,
          ∴f(
          1
          2012
          )+f(-
          1
          2012
          )=0.
          (2)任取-1<x1<x2<1,
          ∵f(x2)-f(x1)=(-x2+x1)+log2
          1-x2
          1+2
          -log2
          1-x1
          1+1
          ,
          由題設(shè)可得 (-x2+x1)<0,
          1-x1
          1+1
          1-x2
          1+2
          ,∴log2
          1-x1
          1+1
          log2
          1-x2
          1+2
          ,
          ∴(-x2+x1)+log2
          1-x2
          1+2
          -log2
          1-x1
          1+1
          <0,即 f(x2)<f(x1),
          故函數(shù)f(x)在其定義域(-1,1)上是減函數(shù).
          x∈(-a,a],其中a∈(0,1],a是常數(shù),
          故函數(shù)f(x)在(-a,a]上是減函數(shù),故當(dāng)x=a時(shí),函數(shù)取得最小值為-a+log2
          1-a
          1+a
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合應(yīng)用,函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷和證明,屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
          (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
          (2)若函數(shù)y=f(2x+
          π
          4
          )
          的圖象關(guān)于直線x=
          π
          6
          對(duì)稱,求φ的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
          (1)求x<0,時(shí)f(x)的表達(dá)式;
          (2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實(shí)數(shù)a的范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
          (1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
          1
          x

          (2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
          m
          2
          ]
          ,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實(shí)數(shù)m的范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
          1
          f(n)
          }
          的前n項(xiàng)和為Sn,則S2010的值為( 。
          A、
          2011
          2012
          B、
          2010
          2011
          C、
          2009
          2010
          D、
          2008
          2009

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對(duì)于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
           

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          同步練習(xí)冊(cè)答案