Question

已知實(shí)數(shù)a、b滿足a-2b+3≥0，且使得函數(shù)無極值，則的取值范圍為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先求導(dǎo)數(shù)f′（x），根據(jù)函數(shù)f（x）無極值可得f′（x）=0至多有一實(shí)根，從而可得關(guān)于a，b的不等式，連同a-2b+3≥0可作出滿足條件的點(diǎn)（a，b）構(gòu)成的區(qū)域，的幾何意義為兩點(diǎn)（a，b），（-2，-1）間連線的斜率，利用線性規(guī)劃知識(shí)即可求得斜率的最大值及最小值．
解答：解：f′（x）=x²+2ax+b，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）無極值，所以有△=4a²-4b≤0，即a²≤b．
又a-2b+3≥0，則滿足條件的點(diǎn)（a，b）構(gòu)成的區(qū)域如下陰影所示：
由解得a=-1或，則兩交點(diǎn)為（-1，1），（，），
的幾何意義為兩點(diǎn)（a，b），（-2，-1）間連線的斜率，
則斜率最大值為=2，
設(shè)過點(diǎn)（-2，-1）的切線方程為b+1=k（a+2）①，a²=b②，由①②消b得a²-ka-2k+1=0，則△=k²-4（-2k+1）=0，解得k=-4+2，-4-2（舍），
即斜率的最小值為-4+2．
所以的取值范圍為[2-4，2]．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件及線性規(guī)劃知識(shí)，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題的能力，解決本題的關(guān)鍵是對(duì)的幾何意義的理解及正確轉(zhuǎn)化，本題屬中檔題．