Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，D為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求三棱錐C-B₁BD的體積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)有中點(diǎn)找中點(diǎn)的方法，設(shè)BC₁與CB₁交于點(diǎn)O，則O為BC₁的中點(diǎn)．在△ABC₁中，連接OD，D，O分別為AB，BC₁的中點(diǎn)，故OD為△ABC₁的中位線，根據(jù)線與線平行得到線與面平行．
（2）要求三棱錐的體積，以三角形BCD為底，轉(zhuǎn)換成三角形ABC為底，這樣三角形的面積和三棱錐的高都能夠求出，得到結(jié)果．

解答：解：（1）證明：設(shè)BC₁與CB₁交于點(diǎn)O，則O為BC₁的中點(diǎn)．
在△ABC₁中，連接OD，D，O分別為AB，BC₁的中點(diǎn)，
故OD為△ABC₁的中位線，∴OD∥AC₁，
又AC₁?平面CDB₁，OD?平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁．
（2）V=

1

3

S△BCD•BB1
=

1

3

×

1

2

S△ABCBB1=

1

6

×

1

2

AC•BC•BB1=

1

12

×3×4×4=4

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的判斷，本題的關(guān)鍵是在平面上找出與直線平行的直線，根據(jù)有中點(diǎn)找中點(diǎn)的方法來解答．