Question

定義在R上的函數(shù)f（x） 滿足f(x+

3

2

)+f(x)=0 且y=f(x-

3

4

) 為奇函數(shù)．
給出下列命題：
（1）函數(shù)f（x） 的最小正周期為

3

2

；
（2）函數(shù)y=f（x） 的圖象關(guān)于點(

3

4

 ， 0) 對稱；
（3）函數(shù)y=f（x） 的圖象關(guān)于y 軸對稱．其中真命題有

 

．（填序號）

Answer 1

分析：本題可先由恒等式 f(x+

3

2

)=-f(x)得出函數(shù)的周期是3，可以判斷（1），再由函數(shù) y=f(x-

3

4

)是奇函數(shù)求出函數(shù)的對稱點來判斷（2）（3），綜合可得答案．

解答：解：由題意定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足條件 f(x+

3

2

)=-f(x)，
故有 f(x+

3

2

)=-f(x)=f(x-

3

2

)恒成立，故函數(shù)周期是3，
故（1）錯；
又函數(shù) y=f(x-

3

4

)是奇函數(shù)，
故函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點 (

3

4

，0)對稱，
由此知（2）（3）是正確的選項，
故答案為：（2）（3）

點評：本題考查奇偶函數(shù)圖象的對稱性，求解本題的關(guān)鍵是由題設(shè)條件把函數(shù)的性質(zhì)研究清楚，解答關(guān)鍵是得出函數(shù)是周期函數(shù)．