Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=

2

，AB=1，AD=2，E為BC的中點
（1）求證：平面A₁AE⊥平面A₁DE；
（2）求點A到面A₁DE的距離；
（3）設△A₁DE的重心為G，問是否存在實數(shù)λ，使得

AM

=λ

AD

且MG⊥平面A₁DE同時成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用面面垂直的判定定理證明；
（2）由題意求出AE、DE的長度，由勾股定理得到AE和DE垂直，再由幾何體為長方體得到DE⊥AA₁，從而得到平面A₁AE⊥平面A₁ED，取A₁E的中點H后連結(jié)AH，得到AH的長度為點A到面A₁DE的距離，然后在直角三角形A₁AE中求解即可；
（3）過G作GM∥AH交AD于M，由AH⊥面A₁DE得到MG⊥面A₁DE，再利用重心的性質(zhì)及平行線截線段成比例定理得到λ的值．

解答：解：（1）在△AED中，AE=DE=

2

，AD=2，∴AE⊥DE
∵A₁A⊥平面ABCD，
所以AA₁⊥DE，又因為AA₁∩AE=A，
所以DE⊥面A₁AE，
又DE?平面A₁DE，
所以平面A₁DE⊥平面A₁AE．
（2）由題意求得AE=

2

，DE=

2

，
又AD=2，∴AE²+ED²=AD²，
∴AE⊥DE．
又DE⊥AA₁，AA₁∩AE=A，AA₁?面A₁AE，AE?面A₁AE，
∴DE⊥面A₁AE，∴平面A₁AE⊥平面A₁ED，
∵A1A=AE=

2

，
取A₁E的中點H，AH⊥A₁E，AH⊥DE，A₁E∩ED=E，A₁E?面A₁DE，
 ED?面A₁DE，
∴AH⊥面A₁DE，
AH為點A到面A₁DE的距離．
∵AH=1，∴點A到面A₁DE的距離為1
（3）在三角形A₁ED中，∵H是A₁E的中點，G為三角形A₁ED的重心，
又∵AH⊥面A₁ED，過點G作GM∥AH交AD于M，
則MG⊥A₁ED，且AM=

1

3

AD，
故存在實數(shù)λ=

1

3

，使得

AM

=λ

AD

，且MG⊥平面A₁ED同時成立．

點評：本題考查了面面垂直的判定定理，考查了點線面間距離的計算，考查了學生的空間想象能力和思維能力，考查了三角形重心的性質(zhì)，是中檔題．