Question

證明不等式：如果x是實(shí)數(shù)，且x＞-1，x≠0，n為大于1的自然數(shù)，那么有：

1+x

)n＞1+nx．

Answer 1

分析：用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，在證明n=k+1成立時(shí)，用到放縮法得到（1+x）^k（1+x）＞（1+kx）（1+x），是證明的關(guān)鍵．

解答：證明：①當(dāng)n=2時(shí)，左邊=（1+x）²=1+2x+x²，
∵x≠0，∴1+2x+x²＞1+2x=右邊，
∴n=2時(shí)不等式成立
②假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)，不等式成立，
即（1+x）^k＞1+kx，
當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)閤＞-1，所以1+x＞0，
左邊=（1+x）^k+1=（1+x）^k（1+x）＞（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx²＞1+（k+1）x，
而右邊=1+（k+1）x，
所以左邊＞右邊
這就是說(shuō)，原不等式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立．
根據(jù)①和②，原不等式對(duì)任何不小于2的自然數(shù)n都成立．
故

1+x

)n＞1+nx．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì) 解答，注意放縮法的合理運(yùn)用．