Question

.已知a，b均是非零向量，設a與b的夾角為θ，是否存在θ，使|a＋b|＝|a－b|成立，若存在，求出θ的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

θ∈∪時，能使|a＋b|＝|a－b|成立

【解析】假設滿足條件的θ存在，由|a＋b|＝|a－b|，得(a＋b)²＝3(a－b)².

∴|a|²＋2a·b＋|b|²＝3(|a|²－2a·b＋|b|²)，

即|a|²－4a·b＋|b|²＝0，

∴|a|²－4|a||b|cosθ＋|b|²＝0，

由Δ≥0，得(4cosθ)²－4≥0，

解得cosθ≤－或cosθ≥，

又cosθ∈[－1,1]，

∴－1≤cosθ≤－或≤cosθ≤1，

∵θ∈[0，π]，∴θ∈∪，

故當θ∈∪時，能使|a＋b|＝|a－b|成立．