Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x²．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）在（0，e]上的最大值；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)a，使直線y=x為函數(shù)f（x）的圖象的一條切線，若存在，求a的值；否則，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx-x²，x＞0，則f′(x)=

1-2x2

x

，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求f（x）在（0，e]上的最大值；
（Ⅱ）f（x）在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，則x∈[1，2]有x+a＞0恒成立，且x∈[1，2]，f′（x）=

1

x+a

-2x≤0恒成立，分離參數(shù)，即可求a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)切點(diǎn)為P（x₀，y₀），利用直線y=x為函數(shù)f（x）的圖象的一條切線，可得f′（x₀）=1，f（x₀）=x₀，由此可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx-x²，x＞0，則f′(x)=

1-2x2

x

令f′（x）＞0，可得0＜x＜

2

2

，∴f（x）在（0，

2

2

）上為增函數(shù)，
同理可得f（x）在（

2

2

，+∞）上為減函數(shù)
∴當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，f（x）最大值為f（

2

2

）=ln

2

2

-

1

2

（Ⅱ）∵f（x）=ln（x+a）-x²，∴x∈[1，2]有x+a＞0恒成立，∴a＞-1
∵f（x）在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，∴x∈[1，2]，f′（x）=

1

x+a

-2x≤0恒成立
∴a≥

1

2x

-x，
而y=

1

2x

-x在[1，2]為減函數(shù)，∴a≥-

1

2

，
又a＞-1，故a≥-

1

2

為所求；
（Ⅲ）存在a=1，使直線y=x為函數(shù)f（x）的圖象的一條切線．理由如下：
設(shè)切點(diǎn)為P（x₀，y₀），則
∵f′（x₀）=1，∴

1

x0+a

-2x0=1，∴x0+a=

1

1+2x0

∵f（x₀）=x₀，∴ln(x0+a)-x02=x0，∴ln

1

1+2x0

-x02=x0
∴x0+x02+ln(1+2x0)=0
令h（x）=x+x²+ln（1+2x）（x＞-

1

2

），∴h′（x）=1+2x+

2

1+2x

＞0 
∴h（x）為增函數(shù)，
又h（0）=0，∴h（x₀）=0
∴x₀=0
∴a=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，屬于中檔題．