Question

給定函數(shù)①y=x

1

2

；②y=log

1

2

（x+1）；③y=2^x-1；④y=x+

1

x

；其中在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減的函數(shù)的序號是（　�。�

A．①②

B．②③

C．③④

D．②④

Answer 1

分析：對于命題①②③，直接利用冪函數(shù)，對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性加以判斷，命題④可利用函數(shù)單調(diào)性的方法加以證明．

解答：解：因為冪函數(shù)y=x^α（α＞0）在第一象限為增函數(shù)，所以y=x

1

2

在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增；
函數(shù)y=log

1

2

（x+1）的定義域為（-1，+∞），且內(nèi)層函數(shù)t=x+1為增函數(shù)，外層函數(shù)y=log

1

2

t為減函數(shù)，所以函數(shù)y=log

1

2

（x+1）在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)遞減的函數(shù)；
函數(shù)y=2^x-1=

1

2

•2x是實數(shù)集上的增函數(shù)；
對于函數(shù)y=x+

1

x

，取x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=(x1+

1

x1

)-(x2+

1

x2

)=(x1-x2)-

x1-x2

x1x2

=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)=(x1-x2)

x1x2-1

x1x2

．
當x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂時，x₁＜x₂，x₁x₂-1＜0，
所以(x1-x2)

x1x2-1

x1x2

＞0，所以f（x₁）＞f（x₂）．
所以y=x+

1

x

在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)遞減的函數(shù)．
所以在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減的函數(shù)是②④．
故選D．

點評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性，訓練了函數(shù)單調(diào)性的證明方法，屬中檔題．