Question

現(xiàn)在市面上有普通型汽車（以汽油為燃料）和電動(dòng)型汽車兩種．某品牌普通型汽車車價(jià)為12萬(wàn)元，第一年汽油的消費(fèi)為6000元，隨著汽油價(jià)格的不斷上升，汽油的消費(fèi)每年以20%的速度增長(zhǎng)．其它費(fèi)用（保險(xiǎn)及維修費(fèi)用等）第一年為5000元，以后每年遞增2000元．而電動(dòng)汽車由于節(jié)能環(huán)保，越來(lái)越受到社會(huì)認(rèn)可．某品牌電動(dòng)車在某市上市，車價(jià)為25萬(wàn)元，購(gòu)買時(shí)一次性享受國(guó)家補(bǔ)貼價(jià)6萬(wàn)元和該市市政府補(bǔ)貼價(jià)4萬(wàn)元．電動(dòng)汽車動(dòng)力不靠燃油，而靠電池．電動(dòng)車使用的普通鋰電池平均使用壽命大約兩年（也即兩年需更換電池一次），電池價(jià)格為1萬(wàn)元，電動(dòng)汽車的其它費(fèi)用每年約為5000元．
（1）求使用n年，普通型汽車的總耗資費(fèi)S_n（萬(wàn)元）的表達(dá)式（總耗資費(fèi)=車價(jià)+汽油費(fèi)+其它費(fèi)用）；
（2）比較兩種汽車各使用10年的總耗資費(fèi)用．（參考數(shù)據(jù)：1.2⁴≈2.11.2⁵≈2.51.2⁹≈5.21.2¹⁰≈6.2）

Answer 1

分析：（1）依題意，普通型每年的汽油費(fèi)用為一個(gè)首項(xiàng)為0.6萬(wàn)元，公比為1.2的等比數(shù)列，其它費(fèi)用為一個(gè)首項(xiàng)為0.5萬(wàn)元，公差為0.2萬(wàn)元的等差數(shù)列，故可求使用n年普通型汽車的總耗資費(fèi)；
（2）由（1）知 Sn=3×1.2n+0.1n2+0.4n+9，求出普通型汽車10年總耗資費(fèi)、電動(dòng)型汽車使用10年的總耗資費(fèi)用，即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）依題意，普通型每年的汽油費(fèi)用為一個(gè)首項(xiàng)為0.6萬(wàn)元，公比為1.2的等比數(shù)列
∴使用n年，汽油費(fèi)用共計(jì)0.6(1+1.2+1.22+…+1.2n-1)=

0.6(1-1.2n)

1-1.2

=3(1.2n-1)
其它費(fèi)用為一個(gè)首項(xiàng)為0.5萬(wàn)元，公差為0.2萬(wàn)元的等差數(shù)列，故使用n年其它費(fèi)用共計(jì)0.5+(0.5+0.2)+…[0.5+0.2(n-1)]=0.5n+

n(n-1)

2

×0.2=0.1n2+0.4n
∴Sn=12+3×1.2n-3+0.1n2+0.4n=3×1.2n+0.1n2+0.4n+9（萬(wàn)元）
（2）由（1）知 Sn=3×1.2n+0.1n2+0.4n+9
∴S10=3×1．210+0.1×102+0.4×10+9≈3×6.2+10+13=41.6（萬(wàn)元）
又設(shè)T₁₀為電動(dòng)型汽車使用10年的總耗資費(fèi)用，則 T10=25-6-4+

10

2

×1+0.5×10=25（萬(wàn)元）
∵41.6-25=16.6（萬(wàn)元）
∴使用10年，普通型汽車比電動(dòng)型汽車多花費(fèi)16.6萬(wàn)元

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查數(shù)列知識(shí)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建數(shù)列模型，利用數(shù)列知識(shí)求解．