Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1且．
（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：a_n≥2（n≥2）
（2）設(shè)，證明數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和
（3）已知不等式ln（1+x）＜x對(duì)x＞0成立，證明：（n≥1）（其中無(wú)理數(shù)e=2.71828…）

Answer 1

證明：（1）①當(dāng)n=2 時(shí)，a₂=2，不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)不等式成立，即a_k≥2，那么．
即當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立．
根據(jù)①②可知：a_n≥2對(duì) n≥2成立．…（4分）
（2）∵，∴
當(dāng)n=1時(shí)，，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n≥2，，
故
=1+…（9分）
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，由（1）的結(jié)論知：
∵ln（1+x）＜x，
∴，
∴（n≥2）
求和可得=
而a₂=2，∴，∴（n≥2），而
故對(duì)任意的正整數(shù)n，有．…（14分）
分析：（1）利用數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟，關(guān)鍵驗(yàn)證當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立；
（2）對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行放縮，利用裂項(xiàng)法求和，即可證得結(jié)論；
（3）先證明n≥2時(shí)，，再累加，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查不等式的證明，考查放縮法、累加法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，有一定的難度．