Question

已知點(diǎn)H(－3，0)，點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線PQ上，且滿足，．

(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動時，求點(diǎn)M的軌跡C；

(Ⅱ)過定點(diǎn)D(m，0)(m＞0)作直線l交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，E是D點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，求證：∠AED＝∠BED；

(Ⅲ)在(Ⅱ)中，是否存在垂直于x軸的直線被以AD為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在求出的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)設(shè) 　　 　　且　　　　　2分 　　　　　　　　　　　　　3分 　　　　　　　　　　　　　4分 　　∴動點(diǎn)M的軌跡C是以O(shè)(0，0)為頂點(diǎn)，以(1，0)為焦點(diǎn)的拋物線(除去原點(diǎn)). 　　　　　　　　　　　　　　　　　5分 　　(Ⅱ) 　　解法一：(1)當(dāng)直線垂直于軸時，根據(jù)拋物線的對稱性，有；　　6分 　　(2)當(dāng)直線與軸不垂直時，依題意，可設(shè)直線的方程為，，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組 　　 　　消去并整理，得 　　 　　　　　7分 　　設(shè)直線AE和BE的斜率分別為，則 　　＝ 　　　　　9分 　　 　　 　　， 　　. 　　綜合(1)、(2)可知.　　　　　　　　　　　10分 　　解法二：依題意，設(shè)直線的方程為，，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組 　　 　　消去并整理，得 　　 　　　　　7分 　　設(shè)直線AE和BE的斜率分別為，則 　　＝ 　　　　　9分 　　 　　 　　， 　　.　　　　　　10分 　　(Ⅲ)假設(shè)存在滿足條件的直線，其方程為，AD的中點(diǎn)為，與AD為直徑的圓相交于點(diǎn)F、G，FG的中點(diǎn)為H，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為. 　　 　　 　　 　　　　　　　　　　　　　12分 　　 　　令，得 　　此時， 　　∴當(dāng)，即時，(定值) 　　∴當(dāng)時，滿足條件的直線存在，其方程為；當(dāng)時，滿足條件的直線不存在.　　　　　　　　　　　14分