Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=

2

，D，E分別為BB₁、AC₁的中點．
（Ⅰ）DE⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）設AA₁=

2

AB，P是BB₁上一動點，試求AP+PC₁的最小值．

Answer 1

分析：（I）取AC的中點F，可得DE∥FB．由題意得BF⊥AC．由于ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，所以BF⊥CC₁，進而可得BF⊥面AC C₁A₁，從而可證明DE⊥面AC C₁A₁．
（II）將平面AB B₁A₁延B B₁展開，使之與面BC C₁B₁共面，連接AC₁則：AP+PC₁的最小值為AC₁．

解答：證明：（I）取AC的中點F，易證DEFB為矩形，所以DE∥FB．
因為AB=BC且F為中點，
所以BF⊥AC．
因為ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，
所以CC₁⊥面ABC，所以BF⊥CC₁
又因為AC∩CC₁=C，
所以BF⊥面AC C₁A₁，
所以DE⊥面AC C₁A₁．
（II）將平面AB B₁A₁延B B₁展開，使之與面BC C₁B₁共面，
如圖所示，則：AP+PC₁的最小值為AC₁的長2

3

．

點評：證明線面垂直的方法是證明已知直線垂直于平面內的兩條相交直線即可，而線線垂直與線面垂直的證明是相輔相成的不能分割，對于求幾何體上兩點距離的最小值的問題解決方法一般是展開幾何體．