Question

已知函數(shù)f(x)=log

1

2

(1-x)+log

1

2

(x+3)
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）的最小值，并求取得最小值時(shí)x的值．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)的解析式可得

1-x＞0 x+3＞0

，求出x的范圍，即可求得函數(shù)的定義域．
（2）令h（x）=（1-x）（x+3），則f（x）=log

1

2

h(x)，利用二次函數(shù)h（x）在（-3，1）上的單調(diào)性求得f（x）在（-3，1）上的單調(diào)性．
（3）利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的最小值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=log

1

2

(1-x)+log

1

2

(x+3)，∴

1-x＞0 x+3＞0

．解得-3＜x＜1，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?3，1）．
（2）∵f(x)=log

1

2

(1-x)+log

1

2

(x+3)=log

1

2

(1-x)(x+3)．
令h（x）=（1-x）（x+3），則二次函數(shù)h（x）的圖象開口向下，對(duì)稱軸為x=-1．
在（-3，-1）上，h（x） 是增函數(shù)，故f（x）=log

1

2

h(x) 是減函數(shù)，故f（x）的減區(qū)間為（-3，-1）．
在[-1，1）上，h（x） 是減函數(shù)，故f（x）=log

1

2

h(x) 是增函數(shù)，故f（x）的增區(qū)間為[-1，1）．
（3）利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性可得，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)以及應(yīng)用，求函數(shù)的定義域、最值以及單調(diào)區(qū)間，二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，
屬于中檔題．