Question

（2012•藍(lán)山縣模擬）若直線l：y+1=k（x-2）被圓C：x²+y²-2x-24=0截得的弦AB最短，則直線AB的方程是

x-y-3=0

．

Answer 1

分析：觀察直線方程發(fā)現(xiàn)該直線恒過（2，-1），且根據(jù)此點(diǎn)到圓心的距離小于圓的半徑得到此點(diǎn)在圓內(nèi)，要使圓C截得的弦AB最短，故與AB垂直的直徑必然過此點(diǎn)，則求出此直徑所在直線的方程，根據(jù)兩直線垂直得到兩條直線的斜率乘積為-1，即可求出k得到直線AB的方程．

解答：解：把圓C：x²+y²-2x-24=0化簡(jiǎn)得：（x-1）²+y²=5²，
則圓心坐標(biāo)為（1，0），r=5，
由直線l：y+1=k（x-2）可知：直線l過（2，-1）；
∵此點(diǎn)到圓心的距離d=

(1-2)2+12

=

2

＜5，即此點(diǎn)在圓內(nèi)，
∵圓C截得的弦AB最短，∴與AB垂直的直徑必然過此點(diǎn)，
設(shè)這條直徑所在直線的解析式為l₁：y=mx+b，
把（2，-1）和（1，0）代入求得y=-x+1，
又直線l₁和直線AB垂直，兩條直線的斜率乘積為-1，
所以得-k=-1，則k=1，
則直線AB的方程為y=x-3，即x-y-3=0．
故答案為：x-y-3=0

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：恒過定點(diǎn)的直線方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線的點(diǎn)斜式方程，以及兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，其中根據(jù)題意得到與AB垂直的直徑必然過（2，-1）是解本題的關(guān)鍵．