Question

（1）已知f（x）是一次函數(shù)，且滿足3f（x+1）-f（x）=2x+9，求f（x）的解析式．
（2）若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²-2x+3．求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出一次函數(shù)解析式，然后代入3f（x+1）-f（x）=2x+9，由系數(shù)相等列式求解a，b的值，則答案可求；
（2）設(shè)x＜0，由題目給出的x＞0時(shí)的解析式，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求解x＜0的解析式，再由定義在實(shí)數(shù)上的奇函數(shù)有f（0）=0即可得到完整答案．

解答：解：（1）∵f（x）是一次函數(shù)，∴設(shè)f（x）=ax+b（a≠0）．
由3f（x+1）-f（x）=2x+9，得3[a（x+1）+b]-ax-b=2x+9．
即2ax+3a+2b=2x+9，

2a=2 3a+2b=9

，解得

a=1 b=3

．
∴f（x）=x+3；
（2）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²-2x+3，
設(shè)x＜0，則-x＞0，
由x＞0時(shí)，f（x）=x²-2x+3，
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）+3=x²+2x+3．
-f（x）=x²+2x+3，∴f（x）=-x²-2x-3．
又定義在R上的奇函數(shù)有f（0）=0．
∴f(x)=

x2-2x+3，(x＞0) 0，(x=0) -x2-2x-3，(x＜0)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查了利用代入法求函數(shù)解析式，給出了函數(shù)在某一區(qū)間上的解析式，求函數(shù)在另一區(qū)間上的解析式時(shí)，常用的方法是把變量轉(zhuǎn)化到給定解析式的區(qū)間上，該題是中檔題．