Question

（本題滿分20分）設(shè)直線l₁：y＝k₁x＋1，l₂：y＝k₂x－1，其中實(shí)數(shù)k₁，k₂滿足k₁k₂＋1＝0.

（Ⅰ）證明：直線l₁與l₂相交；（Ⅱ）試用解析幾何的方法證明：直線l₁與l₂的交點(diǎn)到原點(diǎn)距離為定值．（Ⅲ）設(shè)原點(diǎn)到l₁與l₂的距離分別為d₁和d₂求d₁+d₂的最大值

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）反證法：假設(shè)l₁與l₂不相交，則l₁與l₂平行，有k₁＝k₂，代入k₁k₂＋1＝0，得＋2＝1.此與k₁為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾，從而k₁≠k₂，即l₁與l₂相交。（Ⅱ）由（Ⅰ）知由方程組解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)為，而x²＋y²＝²＋²＝＝＝1.即l₁與l₂的交點(diǎn)到原點(diǎn)距離為1

（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）反證法：假設(shè)l₁與l₂不相交，則l₁與l₂平行，有k₁＝k₂，代入k₁k₂＋1＝0，得＋2＝1.此與k₁為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾，從而k₁≠k₂，即l₁與l₂相交。

（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知由方程組

解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)為

而x²＋y²＝²＋²＝＝＝1.

即l₁與l₂的交點(diǎn)到原點(diǎn)距離為1

方法二：交點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足故知x≠0，從而

代入k₁k₂＋1＝0，得＋1＝0.整理后，得x²＋y²＝1得證。

（Ⅲ）方法一：

方法二：為矩形，

當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”

考點(diǎn)：本題考查了兩直線的位置關(guān)系及距離公式的運(yùn)用

點(diǎn)評：關(guān)于兩條直線位置關(guān)系的問題，常常單獨(dú)出現(xiàn)在選擇題和填空題中，或作為綜合題的一部分出現(xiàn)在解答題中，主要考查以下三種：一、判斷兩條直線平行和垂直；二、求點(diǎn)到直線的距離、平行線間的距離；三、求直線的交點(diǎn)或夾角及利用它們求參數(shù)等