Question

設(shè)f（x）=（ax+b）lnx-4ax，對(duì)于任意的a∈（1，2），f（x）均單調(diào)遞增，則b的取值范圍為

[2e²，+∞）

．

Answer 1

分析：已知f（x）=（ax+b）lnx-4ax，對(duì)于任意的a∈（1，2），f（x）均單調(diào)遞增，說(shuō)明f′（x）≥0恒成立，可以推出a與b的關(guān)系，再利用常數(shù)分離法進(jìn)行求解；

解答：解：∵f（x）=（ax+b）lnx-4ax，對(duì)于任意的a∈（1，2），f（x）均單調(diào)遞增，
∴f′（x）=alnx+（ax+b）×

1

x

-4a≥0在x＞0上為單調(diào)增函數(shù)，
∴（ax+b）×

1

x

≥4a-alnx，
∴b≥3ax-axlnx（x＞0），
令g（x）=3ax-axlnx=a（3x-xlnx）（x＞0），a∈（1，2），
求3x-xlnx的最大值，令h（x）=3-（lnx+1）=0，可得x=e²，
存在唯一極值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)，h（x）_max=h（e²）=3e²-e²×2=e²，
∴g（x）_max=2×e²=2e²，∴b≥2e²，
故答案為：[2e²，+∞）；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，解題過(guò)程中用到了常數(shù)分離法，此題是一道基礎(chǔ)題；