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        1. (本小題滿分13分)

          設(shè)函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù),都有,且當(dāng)時(shí),

          (1)若時(shí),求的解析式;

          (2)對(duì)于函數(shù),試問:在它的圖象上是否存在點(diǎn),使得函數(shù)在點(diǎn)處的切線與平行。若存在,那么這樣的點(diǎn)有幾個(gè);若不存在,說明理由。

          (3)已知,且 ,記,求證:

           

          【答案】

           

          解:(1);(2)滿足題意的點(diǎn)有5個(gè);(3)  .                          

           

          【解析】本試題主要考查了函數(shù)的解析式的求解,以及過點(diǎn)的切線方程的問題,和不等式的證明 的綜合運(yùn)用。

          (1)第一問中將所求的變量轉(zhuǎn)化為已知的區(qū)間,利用已知的關(guān)系式求解得到解析式。

          (2)在第一問的基礎(chǔ)上進(jìn)一步得到函數(shù)的一般式,然后利用導(dǎo)數(shù)的思想,只要判定導(dǎo)函數(shù)為零,方程有無解即可。

          (3)在第二問的得到函數(shù)的單調(diào)性,以及函數(shù)的最大值,然后結(jié)合函數(shù)的最值得到不等式,再結(jié)合等比數(shù)列的求和的思想得到。

          解:(1)∵

          設(shè),則,∴!2分

          (2)設(shè),則,

          ,即為………4分

           

          ∴問題轉(zhuǎn)化為判斷:關(guān)于的方程,內(nèi)是否解,即內(nèi)是否有解,……………………6分

          函數(shù) 的圖象是開口向上的拋物線,其對(duì)稱軸是直線,

          判別式,

          ,

          當(dāng)時(shí),∵,

          ∴方程分別在區(qū)間上各有一解,即存在5個(gè)滿足題意的點(diǎn)

          ②當(dāng)時(shí),∵,∴方程在區(qū)間上無解。

          綜上所述:滿足題意的點(diǎn)有5個(gè)。                       …………………………9分

          (3)由(2)可知:

          ∴當(dāng)時(shí),上遞增;

          當(dāng)時(shí),,上遞減。

          ∴當(dāng)時(shí),

          ∴對(duì)任意的,當(dāng)時(shí),都有

          。

                                                 …………………………13分

           

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          (1)求函數(shù)的最小正周期和最大值;

          (2)在給出的直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象.

          (3)設(shè)0<x<,且方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

           

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          (1)求的值;(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性;

          (3)若對(duì)任意的,不等式恒成立,求k的取值范圍.

           

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          [來源:KS5

           

           

           

           

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