Question

【題目】設(shè)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）． （Ⅰ）求g（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值；
（Ⅱ）討論g（x）與 的大小關(guān)系；
（Ⅲ）求a的取值范圍，使得g（a）﹣g（x）＜ 對任意x＞0成立．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題設(shè)知f（x）=lnx，g（x）=lnx+ ，

∴g'（x）= ，令g′（x）=0得x=1，

當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＜0，故（0，1）是g（x）的單調(diào)減區(qū)間．

當(dāng)x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，故（1，+∞）是g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，

因此，x=1是g（x）的唯一值點，且為極小值點，

從而是最小值點，所以最小值為g（1）=1．

（II）

設(shè) ，則h'（x）=﹣ ，

當(dāng)x=1時，h（1）=0，即 ，

當(dāng)x∈（0，1）∪（1，+∞）時，h′（1）＜0，

因此，h（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，

當(dāng)0＜x＜1時，h（x）＞h（1）=0，即 ，

當(dāng)x＞1時，h（x）＜h（1）=0，即 ．

（III）由（I）知g（x）的最小值為1，

所以，g（a）﹣g（x）＜ ，對任意x＞0，成立g（a）﹣1＜ ，

即Ina＜1，從而得0＜a＜e．

【解析】（I）求導(dǎo)，并判斷導(dǎo)數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值、最值，即可求得結(jié)果；（Ⅱ）通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，判斷兩個函數(shù)的大小關(guān)系即可．（Ⅲ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，轉(zhuǎn)化不等式，求解即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．