Question

（2013•濟(jì)南二模）如圖，斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，側(cè)面AA₁C₁C是菱形，∠A₁AC=60°，E、F分別是A₁C₁、AB的中點(diǎn)．
求證：
（1）EC⊥平面ABC；
（2）求三棱錐A₁-EFC的體積．

Answer 1

分析：（1）在平面AA₁C₁C內(nèi)，作A₁O⊥AC，O為垂足．易得四邊形OCEA₁為平行四邊形，進(jìn)而可得EC∥A₁O，且EC=A₁O．再由已知和面面垂直的性質(zhì)可得所以A₁O⊥底面ABC，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）F到平面A₁EC的距離等于B點(diǎn)到平面A₁EC距離BO的一半，可得BO=

3

，所以VA1-EFC=VF-A1EC，代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得．

解答：證明：（1）在平面AA₁C₁C內(nèi)，作A₁O⊥AC，O為垂足．
因?yàn)?span id="u8w8zkm" class="MathJye">∠A1AC=600，所以AO=

1

2

AA1=

1

2

AC，
即O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)C∥A₁E，且OC=A₁E…（3分）
可得四邊形OCEA₁為平行四邊形，故EC∥A₁O，且EC=A₁O．
因?yàn)閭?cè)面AA&₁C₁C⊥底面ABC，交線為AC，A₁O⊥AC，
所以A₁O⊥底面ABC．所以EC⊥底面ABC．…（6分）
（2）F到平面A₁EC的距離等于B點(diǎn)到平面A₁EC距離BO的一半，而B(niǎo)O=

3

．…（8分）
所以VA1-EFC=VF-A1EC=

1

3

S△A1EC•

1

2

BO=

1

3

•

1

2

A1E•EC•

3

2

=

1

3

•

1

2

•

3

•

3

2

=

1

4

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，涉及三棱錐體積的求解，屬中檔題．