Question

（2013•鄭州二模）函數(shù)y=log_a（x+3）-1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在mx+ny+2=0上，其中mn＞0，則

1

m

+

1

n

的最小值為

3+2 2

2

．

Answer 1

分析：利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點求得點A（-2，-1），由點A在mx+ny+2=0上，可得2m+n=2．再由

1

m

+

1

n

=

3

2

+

n

2m

+

m

n

，利用基本不等式求得它的最小值．

解答：解：∵函數(shù)y=log_a（x+3）-1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點A（-2，-1），點A在mx+ny+2=0上，其中mn＞0，
∴-2m-n+2=0，即 2m+n=2．
∴

1

m

+

1

n

=

m+ n 2

m

+

m+ n 2

n

=1+

n

2m

+

1

2

+

m

n

=

3

2

+

n

2m

+

m

n

≥

3

2

+2

n 2m • m n

=

3+2 2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)

n

2m

=

m

n

時取等號，故

1

m

+

1

n

的最小值為

3+2 2

2

，
故答案為

3+2 2

2

．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．