Question

（2006•朝陽區(qū)三模）已知：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=a，AA₁=2a，D、E分別是側(cè)棱BB₁和AC₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求異面直線AD與A₁C₁所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角D-AC-B的大��；
（Ⅲ）求證：ED⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析：（Ⅰ）∵正三棱柱中AC∥A₁C₁，∠CAD是異面直線AD與A₁C₁所成的角．在△ACD中求解
（Ⅱ）設(shè)AC中點(diǎn)為G，連結(jié)GB，GD，
證出∠DGB是所求二面角的平面角，依條件可求出GB=

3

2

a．在△DGB中求解．
（Ⅲ）通過證明DE⊥AC₁，ED⊥AC證明ED⊥平面ACC₁A₁．

解答：解：（Ⅰ）∵正三棱柱中AC∥A₁C₁，
∴∠CAD是異面直線AD與A₁C₁所成的角．…（2分）
連結(jié)CD，易知AD=CD=

2

a，AC=a，在△ACD中易求出cos∠CAD=

2

4

．
因此異面直線AD與A₁C₁所成的角的余弦值為=

2

4

．
．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)AC中點(diǎn)為G，連結(jié)GB，GD，
∵△ABC是等邊三角形，∴GB⊥AC．
又DB⊥面ABC，∴GD⊥AC．
∴∠DGB是所求二面角的平面角．…（6分）
依條件可求出GB=

3

2

a．
∴tan∠DGB=

DB

GB

=

2 3

3

．
∴∠DGB=arctan

2 3

3

．
．…（8分）
（Ⅲ）證明：
∵D是B₁B的中點(diǎn)，∴△C₁B₁D≌△ABD．∴AD=C₁D．于是△ADC₁是等腰三角形．
∵E是AC₁的中點(diǎn)，∴DE⊥AC₁．…（10分）
∵G是AC的中點(diǎn)，∴EG∥C₁C∥DB，EG=

1

2

，C₁C=DB．
∴四邊形EGBD是平行四邊形．∴ED∥GB．
∵G是AC的中點(diǎn)，且AB=BC，∴GB⊥AC．∴ED⊥AC．
∵AC∩AC₁=A，
∴ED⊥平面ACC₁A₁．…（13分）
（或證ED∥GB，GB⊥平面ACC₁A₁得到ED⊥平面ACC₁A₁．）

點(diǎn)評：本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷，二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力．