Question

（本小題滿(mǎn)分12分）

如圖，在直四棱柱中，底面是梯形，且，，，是棱的中點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）求點(diǎn)到平面的距離；

（3）求二面角的大小．

Answer 1

（2）    （3）

解析:

證明：連接，是正方形，∴，又，

∴平面，∴，又，∴平面，

∴

（2）解：在平面中，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，又過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則為點(diǎn)到平面的距離，在中，有，∴，

在中，，點(diǎn)到平面的距離為．

解法2：用等體積法，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，在中，為直角三角形，由得，∴ ，∴點(diǎn)到平面的距離為．

（3）解：取線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，則，，∴，再取線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，∴，∴，∴是二面角的平面角，在中， ，，取線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，則，在中，，∴，由余弦定理知，

∴二面角的大小為．

空間向量解法：

（1）證明：用基向量法． 設(shè)，，，，，，，，

∴，∴，∴，，∴，∴，即，  ∴

（2）解：構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算．

以為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為軸，建立如圖所示的空間直角系．則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，∵， ∴

，

∴，令，則，，得．

，求點(diǎn)到平面的距離

（3）解：設(shè)平面的一個(gè)法向量為．

 ∵， ∴，，令，則，，得．又設(shè)平面的一個(gè)法向量為∵，

∴∴，令，則，，得．

，∴二面角的大小為．

或者，的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，，， ，∴，

∴二面角的大小為．