Question

已知命題P：“函數(shù)y=

x+m

x+1

在（-1，+∞）上單調(diào)遞增．”命題Q：“冪函數(shù)y=xm2-2m-3在（0，+∞）上單調(diào)遞減”．
（1）若命題P和命題Q同時(shí)為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若命題P和命題Q有且只有一個(gè)真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）∵命題P：“函數(shù)y=

x+m

x+1

在（-1，+∞）上單調(diào)遞增．”
命題Q：“冪函數(shù)y=xm2-2m-3在（0，+∞）上單調(diào)遞減”．
∴P：m＜1，Q：-1＜m＜3，
∴當(dāng)命題P和命題Q同時(shí)為真時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是：-1＜m＜1．
（2）當(dāng)命題P和命題Q有且僅有一個(gè)真時(shí)，P真Q假，或P假Q(mào)真，
當(dāng)P真Q假時(shí)，

m＜1 m≤-1，或m≥3

，
解得實(shí)數(shù)m的取值范圍是：m≤-1．
當(dāng)P真Q假時(shí)，

m≥1 m＜-1，或m≥3

，
解得實(shí)數(shù)m的取值范圍是：1≤m≤3．
綜上所述，若命題P和命題Q有且只有一個(gè)真命題，
實(shí)數(shù)m的取值范圍（-∞，-1]∪[1，3]．