Question

給出下列命題：
①y=1是冪函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=2^x-log₂x的零點(diǎn)有1個(gè)；
③實(shí)數(shù)a=0.2 

2

，b=log 

2

0.2，c=

2

0.2的大小關(guān)系是b＜c＜a．
④設(shè)

a

，

b

，

c

，是單位向量，且

a

•

b

=0，則（

a

-

c

）•（

b

-

c

）的最大值為1+

2

          
⑤函數(shù)y=x+

1

x-1

（x≥3）的最小值為3．
其中真命題的序號(hào)是

④

（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析：①根據(jù)冪函數(shù)的定義知，y=1是常數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)；②函數(shù)f（x）=2^x-log₂x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=2^x與y=log₂x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系中畫出它們的圖象即可；③由0＜a=0.2 

2

＜1，b=log 

2

0.2＜0；④由題設(shè)條件推導(dǎo)出|

a

+

b

|=

2

．由此得到（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=

a

•

b

-（

a

+

b

）•

c

+

c

2=1-

2

cos＜

a

+

b

，

c

＞，從而能判斷④的正誤；
⑤利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷．

解答：解：在①中，y=1是常數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)．故①錯(cuò)誤；
②由函數(shù)圖象知：函數(shù)f（x）=2^x-log₂x沒有零點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；
③∵0＜a=0.2 

2

＜0.2⁰=1，b=log 

2

0.2＜log

2

1=0，
c=

2

0.2＞

2

0=1，
∴b＜a＜c，故③錯(cuò)誤；
④∵

a

、

b

、

c

是單位向量，

a

•

b

=0，∴

a

⊥

b

，|

a

+

b

|=

2

．
∴（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=

a

•

b

-（

a

+

b

）•

c

+

c

²=0-（

a

+

b

）•

c

+1=1-|

a

+

b

|•|

c

|cos＜

a

+

b

，

c

＞
=1-

2

cos＜

a

+

b

，

c

＞≤1+

2

，故④正確；
⑤∵函數(shù)y=x+

1

x-1

=（x-1）+

1

x-1

+1在[3，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)y=x+

1

x-1

（x≥3）取最小值

7

2

，故⑤錯(cuò)誤．
故答案為：④．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)基礎(chǔ)題．考查冪函數(shù)的概念，零點(diǎn)的求法，平面向量問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力．