Question

如圖下所示，楊輝三角形中每一行除首末兩個數(shù)之外，其余每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)的和．
（1）試用組合數(shù)表示這一規(guī)律；
（2）在數(shù)表中試求前n行（含第n行）所有數(shù)的和；
（3）試探究在楊輝三角形的一行能否出現(xiàn)三個相鄰的數(shù)，使得它們的比為3：4：5，并證明你的結(jié)論．
         1
       1   1
     1   2   1
   1   3   3   1
1   4   6   4   1
…

Answer 1

分析：（1）根據(jù)首末兩個數(shù)之外，其余每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)的和，可根據(jù)組合數(shù)公式得到C_n^m-1+C_n^m=C_n+1^m．
（2）先求出每一行和的通項公式，然后利用等比數(shù)列求和公式解之即可求出所求；
（3）假設(shè)存在，設(shè)出這三個數(shù)，然后根據(jù)它們的比為3：4：5建立等式關(guān)系，可求出n-r=

5

12

，而n和r都是正整數(shù)，不可能，從而說明在一行中不存在這樣的三個數(shù)．

解答：解：（1）∵楊輝三角形中每一行除首末兩個數(shù)之外，其余每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)的和．
∴用組合數(shù)表示這一規(guī)律即C_n^m-1+C_n^m=C_n+1^m．
（2）第一行的和為1，第二行的和為2，第三行的和為4，依此類推則第n行的和為2^n-1
∴前n行（含第n行）所有數(shù)的和為1+2+4+…+2^n-1=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1
（3）假設(shè)在楊輝三角形的一行能出現(xiàn)三個相鄰的數(shù)，使得它們的比為3：4：5，
則不妨設(shè)這三個數(shù)為C_n^r-1，C_n^r，C_n^r+1
∴C_n^r-1：C_n^r：C_n^r+1=3：4：5
解得r=27，n=62
故在楊輝三角形的第62行出現(xiàn)三個相鄰的數(shù)，使得它們的比為3：4：5．

點評：本題主要考查了數(shù)列的應(yīng)用，以及排列組合和等比數(shù)列的求和等有關(guān)知識，有一定的難度，屬于中檔題．