Question

已知橢圓E：（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，離心率e=．
（I）若點(diǎn)F在直線l：x-y+1=0上，求橢圓E的方程；
（II）若0＜a＜1，試探究橢圓E上是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵F（-c，0）在直線l：x-y+1=0上，
∴-c+1=0，即c=1，
又，∴a=2c=2，
∴b=．
從而橢圓E的方程為．
（Ⅱ）由，得，
∴，
橢圓E的方程為，其左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A（a，0），
假設(shè)橢圓E上存在點(diǎn)P（x₀，y₀）（-a≤x₀≤a），使得，
∵點(diǎn)P（x₀，y₀）在橢圓上，∴，
由
=
=
==1．
解得：x₀=a±2，
∵0＜a＜1，∴
x₀=a±2∉[-a，a]，
故不存在點(diǎn)P，使得．
分析：（Ⅰ）橢圓的左焦點(diǎn)F在直線l：x-y+1=0上，把F的坐標(biāo)代入直線方程可求c的值，與離心率e=聯(lián)立后可求a的值，則橢圓E的方程可求；
（Ⅱ）假設(shè)橢圓E上存在點(diǎn)P，使得，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，求出向量和，代入后求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，由題目給出的a的范圍推出點(diǎn)P橫坐標(biāo)不在[-a，a]內(nèi)，從而得出矛盾，假設(shè)錯(cuò)誤．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，訓(xùn)練了存在性問題的處理方法，對(duì)于存在性問題，解決的思路是假設(shè)結(jié)論成立，把假設(shè)作為已知條件進(jìn)行推理，得出正確的等式關(guān)系則假設(shè)成立，肯定結(jié)論，否則假設(shè)不成立，否定結(jié)論．此題是中檔題．