Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和滿足S_n＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2），n∈N^*
（Ⅰ）求a₁；
（Ⅱ）證明{a_n}是等差數(shù)列并求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得：令n=1可得a₁=1或a₁=2，因?yàn)閍₁=S₁＞1，所以a₁=2．
（Ⅱ）由a_n+1=S_n+1-S_n=，可得a_n+1-a_n-3=0或a_n+1+a_n=0，根據(jù)題意可得：a_n+1=-a_n不成立．所以a_n+1-a_n-3=0．再集合等差數(shù)列的定義可得答案．

解答：解：（Ⅰ）解：由題意可得：a1=S1=

1

6

(a1+1)(a1+2)，解得a₁=1或a₁=2，
因?yàn)閍₁=S₁＞1，所以a₁=2．
（Ⅱ）由a_n+1=S_n+1-S_n=

1

6

(an+1+1)(an+1+2)-

1

6

(an+1)(an+2)，
可得a_n+1-a_n-3=0或a_n+1+a_n=0，
因?yàn)閿?shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，
所以a_n+1=-a_n不成立，故舍去．
所以a_n+1-a_n-3=0．
根據(jù)等差數(shù)列的定義可得：{a_n}是公差為3，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，
所以{a_n}的通項(xiàng)為a_n=3n-1．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列的定義域等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及利用賦值法解決數(shù)列問(wèn)題．