Question

(2006安微，19)如下圖，P是邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn)，PA=1，P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)O．

(1)證明：PA⊥BF；

(2)求面APB與面DPB所成二面角的大小．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：連結(jié)AD，則易知AD與BF的中點(diǎn)為O． (1)證法一：∵AB=AF，O為BF的中點(diǎn)， ∴AO⊥BF． 又∵PO⊥平面ABC， ∴由三垂線定理得PA⊥BF． 證法二：∵BF⊥PO，BF⊥AO，PO∩AO=O， ∴BF⊥平面AOP． ∵PA平面AOP，∴PA⊥BF． (2)設(shè)M為PB的中點(diǎn)，連結(jié)AM，MD． ∵在△ABP中PA=AB，∴PB⊥AM． ∵斜線PB在平面ABC內(nèi)的射影為OB，BF⊥AD， ∴由三垂線定理得PB⊥AD． 又∵AM∩AD=A，∴PB⊥平面AMD． ∵MD平面AMD，∴PB⊥MD． 因此，∠AMD為所求二面角的平面角． 在正六邊形ABCDEF中， ，AD=2． 在Rt△AOP中，PA=1，， ∴． 在Rt△BOP中，， 則， ， ． 在△AMD中，由余弦定量得． 因此，所求二面角的大小為．