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        1. 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,
          (1)當(dāng)c=3時,不等式f(x)<0的解集為(1,3),求f(x)的解析式;
          (2)若不等式f(x)<0的解集為(1,3),且f(x)>a3-4a在區(qū)間[a,a+1]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
          分析:(1)利用一元二次不等式的解集是(1,3),得到1,3是對應(yīng)方程f(x)=0的兩個根,根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系求a,b即可.
          (2)利用不等式f(x)<0的解集為(1,3),得到1,3是對應(yīng)方程f(x)=0的兩個根,根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系求a,b,c的關(guān)系,利用f(x)>a3-4a在區(qū)間[a,a+1]上恒成立a的取值范圍.
          解答:解:(1)當(dāng)c=3時,f(x)=ax2+bx+3,因?yàn)樵尾坏仁降慕饧牵?,3),則1,3是對應(yīng)方程f(x)=0的兩個根,且a>0,
          所以據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系得
          1+3=-
          b
          a
          1×3=
          3
          a
          ,解得a=1,b=-4,所以f(x)=x2-4x+3.
          (2)若不等式f(x)<0的解集為(1,3),則1,3是對應(yīng)方程f(x)=0的兩個根,且a>0,
          所以據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系得
          1+3=-
          b
          a
          1×3=
          c
          a
          ,即c=3a,b=-4a.
          由f(x)>a3-4a得ax2+bx+c>a3-4a,即ax2-4ax+3a>a3-4a,因?yàn)閍>0,
          所以不等式等價(jià)為x2-4x+3>a2-4,即x2-4x+7-a2>0在區(qū)間[a,a+1]上恒成立,
          設(shè)f(x)=x2-4x+7-a2=(x-2)2+3-a2,對稱軸為x=2.
          ①若a+1≤2,即0<a≤1時,函數(shù)在[a,a+1]上單調(diào)遞減,此時當(dāng)x=a+1時函數(shù)值最小,所以f(a+1)=4-2a,由4-2a>0,得a<2,此時0<a≤1.
          ②若a≤2≤a+1,即1≤a≤2時,當(dāng)x=2時,函數(shù)值最小,所以f(2)=3-a2,由3-a2>0,得-
          3
          <a<
          3
          ,此時1≤a≤
          3

          ③若a+1>2時,即a>1時,函數(shù)在[a,a+1]上單調(diào)遞增,此時當(dāng)x=a時函數(shù)值最小,所以f(a)=a2-4a+7-a2=7-4a,由7-4a>0,得a<
          7
          4
          ,此時1<a<
          7
          4

          綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是0<a<
          7
          4
          點(diǎn)評:本題主要考查一元二次不等式的解法和一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),綜合性較強(qiáng),注意進(jìn)行分類討論.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
          (I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn),且滿足f(2)=0,求實(shí)數(shù)m的值.
          (Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(diǎn)(0,1),且與x軸有唯一的交點(diǎn)(-1,0).
          (Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;
          (Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
          (1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)q的取值范圍;
          (2)若記區(qū)間[a,b]的長度為b-a.問:是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時,f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長度為12-t?請對你所得的結(jié)論給出證明.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
          f(x)x-1

          (1)求a的值;
          (2)k(k∈R)如何取值時,函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點(diǎn),并求出極值點(diǎn);
          (3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
          (2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)是(-1,2),且經(jīng)過原點(diǎn),求f(x)的解析式.

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          同步練習(xí)冊答案