已知雙曲線過(guò)(3,-2),且與橢圓4x2+9y2=36有相同的焦點(diǎn),求雙曲線方程.
【答案】
分析:先化橢圓方程為標(biāo)準(zhǔn)方程,求出橢圓的焦點(diǎn),由此設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,把點(diǎn)(3,-2)代入方程,聯(lián)立a
2+b
2=c
2即可求得a
2,b
2的值,則雙曲線的方程可求.
解答:解:由4x
2+9y
2=36,得

=1,則c
2=9-4=5,所以c=

.
所以橢圓的焦點(diǎn)為F
1(-

,0),F(xiàn)
2(

,0).
因?yàn)殡p曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn),所以可設(shè)雙曲線方程為

=1.
因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)(3,-2),所以

=1①
又a
2+b
2=5②,聯(lián)立①②,解得:a
2=3或a
2=15(舍),b
2=2.
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

=1.
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓錐曲線的共同特征,考查了利用代入法求圓錐曲線的方程,由焦點(diǎn)的位置設(shè)曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是該題的關(guān)鍵,此題是中檔題.