Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²-4（a∈R），f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，對(duì)于任意的m∈[-1，1]，n∈[-1，1]求f（m）+f′（n）的最小值；
（2）若存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲求f（m）+f′（n）的最小值，就分別求f（m）、f′（n）的最小值
（2）存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0即尋找f（x）_max＞0是變量a的范圍．

解答：解：（1）由題意知f（x）=-x³+2x²-4，f′（x）=-3x²+4x
令f′（x）=0，得x=0或

4

3

當(dāng)x在[-1，1]上變化時(shí)，f（x），f′（x）隨x的變化情況如下表：

∴對(duì)于m∈[-1，1]，f（m）的最小值為f（0）=-4，
∵f′（x）=-3x²+4x的對(duì)稱軸為x =

2

3

且拋物線開(kāi)口向下
∴對(duì)于n∈[-1，1]，f′（n）的最小值為f′（-1）=-7，
∴f（m）+f′（n）的最小值為-11．

（2）∵f′（x）=-3x（x-

2a

3

）
①若a≤0，當(dāng)x＞0，時(shí)f′（x）＜0
∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，又f（0）=-4，則當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜-4∴當(dāng)a≤0時(shí)，不存在x₀＞0，使f（x₀）＞0
②若a＞0，則當(dāng)0＜x＜

2a

3

時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)x＞

2a

3

時(shí)，f′（x）＜0從而f（x）在（0，

2

3

]上單調(diào)遞增，在[

2a

3

，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）_max=f（

2a

3

）=-

8a3

27

+

4a2

9

-4
根據(jù)題意，

4a3

27

-4＞0，即a³＞27，解得a＞3
綜上，a的取值范圍是（3，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三次函數(shù)、二次函數(shù)的最值問(wèn)題，以及存在性問(wèn)題．