Question

(本小題滿分12分)  已知函數(shù)f(x)＝ (1)作出函數(shù)的圖像簡圖，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若f(2－a²)>f(a)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

解析：(1) f(x)在(－∞，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)；（2）－2<a<1.

【解析】本試題主要是考查了分段函數(shù)的作圖，以及函數(shù)的單調(diào)性和不等式的求解綜合運(yùn)用。

（1）利用作出兩端二次函數(shù)的圖像得到第一問。

（2）由（1）可知f(x)在(－∞，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)

故由f(2－a²)>f(a)得2－a²>a，求解得到參數(shù)a的范圍。

解析：(1) 略          ……………………………………………4分

由f(x)的圖象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，……………………7分

（2）由（1）可知f(x)在(－∞，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)

故由f(2－a²)>f(a)得2－a²>a，即a²＋a－2<0，…………………………………10分

解得－2<a<1.…………………………………………12分

 

20. 【題文】 (本小題滿分13分)

 (1)證明：函數(shù)在上是減函數(shù)，在[，+∞)上是增函數(shù)；

【答案】解： （1）證明：見解析；

（2）當(dāng)時(shí)，方程無解；當(dāng)方程有一個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解.

【解析】本試題主要是考查了二次函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用。

（1）根據(jù)但單調(diào)性的定義法，設(shè)變量，作差，變形定號(hào)，下結(jié)論。

（2）在第一問的基礎(chǔ)上，結(jié)合單調(diào)性，得到函數(shù)的最值，然后分析得到參數(shù)的范圍。

解： （1）證明：設(shè)，且

則==

==．………4分

（ⅰ）若，且，，所以，

即．所以函數(shù)在區(qū)間[，+∞)上單調(diào)遞增．………6分

（ⅱ）若，則且，，

所以，即．所以函數(shù)在區(qū)間[，+∞)上單調(diào)遞減．………………………………8分

（2）由（1）知函數(shù)在區(qū)間（1，)上單調(diào)遞減，在區(qū)間[，2]上單調(diào)遞增

所以的最小值=，的最大值=……………………10分

故當(dāng)時(shí)，方程無解；當(dāng)方程有一個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解.………………………………………13分